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二つの封筒の問題を考える

つい最近「二つの封筒の問題」というものを知りました。期待値の関わってくる問題なだけに、このブログで扱っても問題ないでしょう。特にこの問題は割りとトンチンカンな回答を載せているところも多いですから、期待値マスター(?)の私も頑張って回答をしたいと思います。


<二つの封筒の問題とは>

まず二つの封筒の問題の説明からです。

ここに二つの封筒があります。この封筒にはお金が入っていますが、片方だけに2倍の金額が入っています。この状態で一つの封筒を選んで開けますが、その選んだ封筒の中身の金額を見た後にもう一方の封筒を選ぶことができます。封筒を取り替えた方が得でしょうか?


この場合、封筒に入っていたのが1000円だった場合、もう一方の封筒に入っているのは2000円か500円となり、「(2000+500)÷2=1250」という期待値を持つという性質となります。

しかし封筒の中身の1000円を見た時点で、別の封筒が2000円である確率は2分の1、500円である確率も2分の1です。つまり二つに一つ。

そしてここが不可解なのですが、最初に封筒を選ぶ時点で2倍の金額が入っている確率は2分の1、1倍の金額が入っている確率も2分の1。つまり二つに一つ。


封筒を選んだ後に変更をすると期待値が上がりますが、確率的には封筒を選ぶ前も封筒を変更するときにも2倍の金額の封筒を引く確率は2分の1という謎、というかパラドックスのお話です。


<選びなおしても変わらない?>

おそらく問題の引用の仕方というか、どこで問題を読んだかでいろいろと解釈が異なることがあるようですが、一応私が読んだ問題のとおりでは以上です。微妙な条件の違いがあるかもしれませんが(ないとも思いますが)今回はそこは置いておきたいと思います。

さて、一番多かった回答が「封筒を選んだ後に変えても変えなくても期待値は変わらない」というもの。これにはついては後で触れますが、期待値うんぬんは一切関係なく、最初に選んだときも2回目に選んだときも二つの封筒から一つを選ぶことに変わりないために、どちらも期待値を1とする回答です。これについては後でもう一度触れます。


<私の回答>

私の回答は「封筒を変えたほうがいい」です。

問題となっているのが、最初の封筒の選択です。

最初の封筒を選ぶ際の期待値を考えると、「(X+2X)÷2=1.5X」となり、プラスの期待値を持ちます。

ここから考えてくる人が多かったですが、これは特に意味がないと私は思っています。というのも、2つの封筒のどちらを選択しても2倍の金額を引く確率は2分の1のまま、また1倍と2倍の封筒から選択するのですから、この時点での期待値がプラスなのは当たり前です。

さらにこの問題文において最初の時点で封筒を開けないという選択肢はありません。つまり最初の封筒にどのような期待値を持っていたとしても意味がないということです。絶対に開けますし、それが2倍の封筒かどうか判断するすべは全くないと。

最初の封筒が1000円の場合、次の封筒は2000円か500円なため期待値は1250円。最初の封筒の選択は意味がないのですから、「変更した場合の期待値は1.25」ということで答えが出ています。

<100回分を考えると・・・>

ただコレには続きがあります。

エクセルなど使わなくても頭で思い描くだけで簡単に分かると思いますが、1000円と2000円の封筒があった場合、それらを二つの封筒を100回引いた場合、確率的には1000円が50回、2000円が50回となり、合計は15万円。

しかしここで封筒を替えた場合を考えても、結果の反対の2000円が50回、1000円が50回となり合計は15万円となります。

つまり期待値がプラスになっていません。先ほどの計算では「変更した場合の期待値は1.25」となっていますが、こうやって計算すると期待値はプラスではないと。この問題は条件の違いにあります。


<まとめ>

さきほど「封筒を選んだ後に変えても変えなくても期待値は変わらない」という回答が多いということを書きましたが、これは全体で見た場合の計算です。100回試行するとか、100人用意するとした場合のことです。私が出した「封筒は変えたほうがいい」というのは、封筒の金額がまったく分からず、またそれが2倍かどうか判断できない場合の期待値です。


問題文は複数回の試行を考慮していませんが1回とも言っていません。ですからこの問題を考える場合、1回に限れば最初の封筒の開封の期待値を考慮することができないため封筒を変更することで期待値を1.25とできます。しかし複数回となれば最初の封筒の開封の期待値が関係するようになり、変更してもしなくても期待値が変わらなくなるということではないでしょうか。

またこれは2つの封筒の金額を勝手に決められないという問題も含んでいます。

先ほどの例で1000円と2000円の封筒の例を出しました。これがもし最初の封筒を引いたのが1000円だった場合、そこで考えられる例は1000円と2000円のセット、1000円と500円のセットとなります。どちらも期待値は1ですが、1000円出た時点でどちらのセットに属するかは全く分からないと。


なんだかズラズラと長くなってしまいましたが、まとめです。

「二つの封筒の問題は「封筒を変えたほうがいい」とも言えるし「封筒を変える意味がない」とも言えてしまうパラドックス」

と非常に簡潔です。封筒を開けた時点で1000円だった場合、2000円セットに属している可能性と500円セットに属している可能性がありますが、それはその時点ではどちらかは全く分かりません。ですから2000円と500円の可能性があり期待値は1250円とも言えますが、セットごとの期待値を見ると1のままという状況。結局私の頭では「パラドックスだから」以上の答えは出ませんでした。


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posted by ゼロハジ at 2013年09月16日 14:30 | Comment(14) | 小ネタ
この記事へのコメント
貴方の答えも「トンチンカンな回答」だと思いますよ。

『最初の封筒が1000円の場合、次の封筒は2000円か500円なため期待値は1250円。』
と書かれてますが確率1/2を割り振るのは必ずしも正しいとは言えません。
事前分布をどう設定するかで答えが変わります。ベイズの定理(またはベイズ統計)をお調べ下さい。

『私が出した「封筒は変えたほうがいい」というのは、封筒の金額がまったく分からず、またそれが2倍かどうか判断できない場合の期待値です。』
封筒の金額がまったく分からないのであれば封筒を変えても変えなくても期待値は
同じであるのが当然だと思いますが。
そうでないならまったく分からないものに対して非均等な確率を割り当てている
ことになりますね。
Posted by at 2015年06月03日 01:48
名無しさん、コメントありがとうございます。


ペイズの定理について調べてみましたが、私の理解する限り今回の話には関係がないと思います。封筒は2つしかありませんし、この話は1000円の封筒を開けた後に2つの可能性がある話ですから、そこで「2分の1じゃなかった」というのであれば、それはまた別の問題になると思います。

>封筒の金額がまったく分からないのであれば封筒を変えても変えなくても期待値は
同じであるのが当然だと思いますが。

自分の文章が足りなかったです。『封筒の金額がまったく分からず』はおそらく誤植です。

意味合い的には
「私が出した「封筒は変えたほうがいい」というのは、最初に開けた封筒が2倍かどうか判断できない場合の期待値を元にしています。」
が正しいと思います。
Posted by ゼロハジ at 2015年06月03日 15:20
最近、この「二つの封筒問題」を知り、なぜ人は交換した方が良いと考えてしまうのかに興味を持っています。
管理人さんは期待値がプラスにならない条件を理解しているにもかかわらず、交換した方が良いという結論を持っていて、非常に面白い考え方だと思いました。

残念ながら1回の試行であっても封筒を開けても開けなくても、交換した時の期待値は1.25ではありません。
おそらくは1/2*0.5+2*0.5=1.25という計算式から1.25を導きだしているのだと思いますが、この0.5という数字が数学的に間違いなのです。

ぜひ正解にたどり着いてください。期待値理論の奥の深さに感動すると思いますよ。
Posted by at 2015年06月07日 11:00
名無しさん、コメントありがとうございます。


50%ではない、というところが争点になっているようですね。私は50%だとしか思えないのですが、もしもお暇であれば、50%以外の数値、または計算式を書いていただけると参考になります。

期待値が1のままを維持するには2分の1の封筒を開ける確率が66.6%まで上昇しなければいけないことになりますが、そのような条件はないように思いますし、そこまで偏りが発生する理由も分かりません。
Posted by ゼロハジ at 2015年06月07日 15:16
こんにちは

「ここに二つの封筒があります。この封筒にはお金が入っていますが」

この条件の下で

>封筒の中身の1000円を見た時点で、別の封筒が2000円である確率は2分の1、500円である確率も2分の1です

この時点での考えがそもそも間違ってるのでは・・・そんな気がします。
Posted by たか at 2015年08月17日 17:00
たかさん、コメントありがとうございます。


以前に似たようなコメントをいただいたことがありましたが、この点について何が間違っているのか私には良く分かりません。

残りの封筒は一つですし、元の封筒が1000円でしたから、中身は2000円と500円のどちらかのパターンしかありません。

確率が2分の1ではないという点であれば、どのような確率が考えられるのか是非聞きたいです。
Posted by ゼロハジ at 2015年08月18日 15:35
1000円の封筒と2000円の封筒用意してやってみたら簡単。 答えは損も得もしないです。 これにないはずの500円封筒とかだしてくるからわかりにくくなるだけ。
Posted by うし at 2015年09月20日 23:05
うしさん、コメントありがとうございます。

確かにそれはそうなんですが、前提の話だと2倍の封筒があるだけで、元の金額は分かりませんから、1000円と2000円の封筒というのもまた別な話だと思います。

大事なのは次の封筒が2倍か1倍かが「分からない」という点ですから、封筒を用意した時点での期待値と、実際に一つ開けてからの期待値が違うというパラドックスは特に変わっていないと思います。
Posted by ゼロハジ at 2015年09月21日 14:15
> 私の回答は「封筒を変えたほうがいい」です。


>「二つの封筒の問題は「封筒を変えたほうがいい」とも言えるし「封筒を変える意味がない」とも言えてしまうパラドックス」
と非常に簡潔です。
> 結局私の頭では「パラドックスだから」以上の答えは出ませんでした。

結局どっちなのよ?
Posted by at 2016年10月07日 12:27
コメントありがとうございます。


何度考えても頭が混乱するばかりなので、この問題は自分の中では「パラドックス」で終わらせています。

もし自分が同じ状況だったら期待値に沿って交換しますが、一方で全体の期待値を見ると変えても意味ないことも分かっていて、ではそれは何故なのかと考えてもさっぱり分からないですし、ネットで調べても納得できる答えがありません。

結局「パラドックスだから」が一番しっくりくる理由なため、私の中では「二つの封筒問題はパラドックス」で完結しています。
Posted by ゼロハジ at 2016年10月07日 18:27
興味深い記事だったので、ネットで調べました。

結論から言うと、管理人さんの仰る通りで、「現実世界」でこれをすると確実に1.25の期待値を得ることができるので交換してください。1回だろうが、複数回だろうがです。なぜなら「現実世界」のお金は「有限」だからです。

おそらくコレでは納得行かないと思うので、私のコメントを見て理解したい人は長文ではありますが下記にて説明致します。

問題文の解釈によって答えが変わります。大体解釈が別れるのは以下の2つです。

1.お金を「有限」という考えのもと、期待値を求めるパターン(変えた方が良い派)

2.お金を「無限」という考えのもと、期待値は求められないパターン(変えても意味がない派、問題の前提に異を唱える派)

まず1では、普通に考えると期待値が1.25になり得します。ほとんどの人が最初にコレを思い浮かべて、変えた方が得と考えます。
「有限」の物に対して確率や期待値を求めることはできます。
お金を「有限」と解釈をした人はこの考えで正解です。

次に2では、封筒にはいくら入っているか分からない、つまり現実ではありえないですがお金を入れる人のさじ加減でいくらでもお金を入れれてしまうなどの、問題の前提不十分が挙げられます。
「無限」の物に対して確率や期待値を求めることはできません。
確率や期待値が求められないので、変えても意味がない、問題がおかしいという考えです。
お金を「無限」と解釈した人はこの考えで正解です。

確率や期待値などに対して意見がぶつかってしまうのは、上記2つの解釈の違いが原因の元だと考えられます。

厳密にこの問題に結論をつけるなら、「問題の捉え方によって答えが変わる」が妥当です。

詳しく解説されたサイトを掻い摘んで説明したので、そのサイトを見てもらえば更に理解が深まると思うのですが、人様のブログに他サイトを勝手に紹介するのも気が引けるのでしません。管理人さんが良しとするのであれば紹介しますが。

長文失礼しました。
Posted by ゆずレモン at 2016年11月02日 08:33
ゆずレモンさん、コメントありがとうございます。


何度か読み返してみたのですが、私にはちょっと理解できませんでした。私の記事では「有限」で捉えているため方向性としては正しいということでしょうか?


サイト紹介の方は申し訳ないですが、ご遠慮ください。
Posted by ゼロハジ at 2016年11月02日 19:59
そうです、殆どの人はお金という固定概念から「有限」と捉えて期待値を計算され変えた方が良いという答えを導きます。

管理人さんもこちらの答えになられてたので方向性としては正しいです。

ただ捻くれた見方をすれば、別の答えを導くこともできるという事です。

封筒に入れるお金は入れる人にしか分からないので、入れる人のさじ加減で変わるという所が重要です。ややこしくなるので数字に置き換えると、これは正の整数の全体の集合(無限集合)からランダムに選ぶということになります。無限集合からは数学的に定式化することは出来ないので、期待値や確率は導き出せない、変えても意味がない、問題に無理があるなどの答えになります。

私も最初理解できなかったのですが分かってから問題を見ると、人の心理を考えて作られた、凄くよく出来た問題だと感心しましたね。
Posted by ゆずレモン at 2016年11月04日 07:09
ゆずレモンさん、コメントありがとうございます。


読みましたが、正直なところ良く分かってません(笑)

とりあえず「方向性としては正しい」と言われたので、そこまで大きく間違っていないようで安心しました。
Posted by ゼロハジ at 2016年11月05日 18:37
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